Abikurs Mathe

♦ Abikurs Mathe - Analytische Geometrie ♦

14 - Abi-Aufgaben

Pflichtteil 2016 - Aufgabe 6:
Gegeben ist die Gerade .
a) Untersuchen Sie, ob es einen Punkt auf g gibt, dessen drei Koordinaten identisch sind.
b) Die Gerade h verläuft durch Q(8|5|10) und schneidet g orthogonal.
Bestimmen Sie eine Gleichung von h.

(5 VP)

Lösung a)
Ein Punkt, dessen drei Koordinaten identisch sind beschreiben wir z.B. mit P(k|k|k). Wir müssen also feststellen, ob es ein k und ein r gibt, so dass sich die Gleichung

widerspruchsfrei lösen lässt.

Aus der zweiten Koordinatengleichung erhalten wir k=4r und damit r=k/4. Einsetzen in die erste Koordinatengleichung liefert k=3+k/4. Nach Multiplikation mit 4 folgt 4k=12+k und damit 3k=12 bzw. k=4. Mit k=4 haben wir nun r=1 und wir müssen nur noch feststellen, ob mit diesen Werten auch die dritte Koordinatengleichung widerspruchsfrei ist. Einsetzen liefert 4=1+1·3 was offensichtlich korrekt ist.

Ergebnis: Der Punkt P(4|4|4) hat die gewünschten Eigenschaften.

Lösung b)

Ein Punkt P auf g hat die Koordinaten P(3+r|4r|1+3r). Wenn h die Gerade g orthogonal schneidet, dann muss das Skalarprodukt des Richtungsvektors von g mit dem Verbindungsvektor von P nach Q gleich 0 sein.

Mit

folgt also

(5-r)+(5-4r)·4+(9-3r)·3=0 ⇔ 52-26r=0 ⇔ 52=26r ⇔ r=2

Damit erhalten wir den Richtungsvektor

von h.
Mit

als Stützvektor ergibt sich daraus eine Geradengleichung für h.

Ergebnis: Die Gerade h ist gegeben durch die Gleichung

Pflichtteil 2016 - Aufgabe 7:
Gegeben ist die Ebene E: 4x₁+4x₂+7x₃=28.
Es gibt zwei zu E parallele Ebenen F und G, die vom Ursprung den Abstand 2 haben.
Bestimmen Sie jeweils eine Gleichung von F und G.

(3 VP)

Lösung
Eine Ebene F, die den selben Normalenvektor wie E hat ist parallel zu E (oder identisch). Wir können für die Ebenengleichung von F somit F: 4x₁+4x₂+7x₃=d mit einem noch unbekannten d ansetzen. Natürlich muss d≠28 sein, denn andernfalls wären E und F identisch. Wir berechnen zunächst die Länge des Normalenvektors:

Hiermit bestimmen wir die Hesse'sche Normalform von F:

Der Abstand eines Punktes P(a|b|c) zur Ebene F ist dann gegeben durch

Der Abstand des Ursprungs O zu F soll laut Aufgabe genau 2 sein. Folglich gilt:

Es folgt |-d|=18, was nur für d₁=18 und d₂=-18 erfüllt ist.

Ergebnis: Die beiden gesuchten Ebenen haben die Gleichungen

F: 4x₁+4x₂+7x₃=18

bzw.

G: 4x₁+4x₂+7x₃=-18.

Pflichtteil 2014 - Aufgabe 7:
Gegeben sind die Punkte A(1|10|1), B(-3|13|1) und C(2|3|1).
Die Gerade g verläuft durch A und B.
Bestimmen Sie den Abstand des Punktes C von der Geraden g.

(4 VP)

Lösung

Für die Geradengleichung von g verwende z.B.

als Stützvektor und

als Richtungsvektor.
Somit haben wir

mit

als Geradengleichung.

Im nächsten Schritt bilden wir eine Hilfsebene E, die senkrecht zu g steht, so dass C in E liegt. Als Normalenvektor für E nehmen wir den Richtungsvektor von g und erhalten damit zunächst E: -4x₁+3x₂=d mit einem noch unbekannten d. Da C in E liegt, setzen wir die Koordinaten von C ein und erhalten: -4·2+3·3=1=d und damit die vollständige Ebenengleichung: E: -4x₁+3x₂=1.
Durch Einsetzen von g in E bestimmen wir den Schnittpunkt F.

-4(1-4t)+3(10+3t)=1 ⇒ 25t=-25 ⇒ t=-1

Einsetzen in g liefert

. Somit ist F(5|7|1) der Schnittpunkt von g mit E. Der Abstand von C zu g ist dann gegeben durch:

Ergebnis: Der Abstand von C zu g beträgt 5 LE.

Pflichtteil 2013 - Aufgabe 6:
Die Gerade g verläuft durch die Punkte A(1|-1|3) und B(2|-3|0).
Die Ebene E wird von g orthogonal geschnitten und enthält den Punkt C(4|3|-8).
Bestimmen Sie den Schnittpunkt S von g und E.
Untersuchen Sie, ob S zwischen A und B liegt.

(4 VP)

Lösung

Geradengleichung für g durch die Punkte A und B:

Ebenengleichung für E durch den Punkte C orthogonal zu g:
Als Normalenvektor von E verwende den Richtungsvektor von g. Damit gilt für die Koordinatengleichung von E x₁-2x₂-3x₃=d mit noch unbekanntem d. Da C auf E liegt, setzen wir C ein und erhalten 4-2·3-3·(-8)=22=d.
Die Koordinatengleichung lautet somit E: x₁-2x₂-3x₃=22.

Schnittpunkt S von g mit E:
S erhält man durch einsetzen von g in E. Hierzu liest man die Koordinaten aus der Geradengleichung ab und setzt diese ein: (1+t)-2(-1-2t)-3(3-3t)=22 auflösen nach t liefert -6+14t=22 ⇒ 14t=28 ⇒ t=2.
Der gefundene Wert von t wird nun in g eingesetzt:

Ergebnis: Der Schnittpunkt S von g mit E ist S(3|-5|-3).

Liegt S zwischen A und B?
Die Gerade

geht für t=0 durch den Punkt A und t=1 durch den Punkt B. Falls S zwischen A und B auf g liegt, dann muss hierfür 0<t<1 gelten. Dies prüfen wir.

Hieraus ergibt sich t=2, d.h. t liegt nicht zwischen 0 und 1.

Ergebnis: S liegt nicht zwischen A und B.

Pflichtteil 2013 - Aufgabe 7:
Gegeben sind die beiden Ebenen E₁: 2x₁-2x₂+x₃=-1 und

.
Zeigen Sie, dass die beiden Ebenen parallel zueinander sind.
Die Ebene E₃ ist parallel zu E₁ und E₂ und hat von beiden Ebenen denselben Abstand.
Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene E₃.

(4 VP)

Lösung

Parallelität der Ebenen E₁ und E₂:
Einen Normalenvektor von E₁ liest man direkt ab mit

. Den Normalenvektor für E₂ bestimmen wir mit dem Vektorprodukt:

Nun gilt

, d.h. die Normalenvektoren sind linear abhängig.

E₁ und E₂ sind folglich parallel oder identisch.

Nun wird getestet, ob der Stützvektor von E₂ in E₁ liegt. Falls dies nicht der Fall ist, wissen wir, dass E₁ und E₂ nicht identisch und damit parallel sind. Es gilt 2·7-2·7+5=5≠-1.

Ergebnis: E₁ und E₂ sind parallel.

Ebenengleichung für E₃

Da E₃ parallel zu E₁ ist können wir den Normalenvektor von E₁ auch als Normalenvektor von E₃ verwenden und erhalten dadurch E₃: 2x₁-2x₂+x₃=d mit einem noch unbekannten d. Da E₃ denselben Abstand von E₁ und E₂ hat, liegt E₃ genau in der Mitte von diesen beiden Ebenen.
Die Gerade

mit dem Stützvektor von E₂ und dem Normalenvektor von E₁ als Richtungsvektor geht senkrecht durch alle Ebenen. Den Punkt, den der Stützvektor von E₂ beschreibt, bezeichnen wir mit A. Wir bestimmen nun den Schnittpunkt S von g mit E₁ durch Einsetzen.

2(7+2t)-2(7-2t)+(5+t)=-1 ⇒ 5+9t=-1 ⇒ t=-2/3

Einsetzen in g liefert S:

.
Mit S(17/3|25/3|13/3) und A(7|7|5) erhalten wir die Mitte M zwischen diesen beiden Punkten:

Da M auf E₃ liegt, setzen wir M ein und erhalten das noch fehlende d.

Ergebnis: E₃ hat die Gleichung E₃: 2x₁-2x₂+x₃=2.

Pflichtteil 2011 - Aufgabe 7:
Gegeben sind die Ebene

und die Gerade

.
a) Zeigen Sie, dass E und g zueinander parallel sind.
b) Bestimmen Sie den Abstand von E und g.

(4 VP)

Lösung a)

Wenn das Skalarprodukt des Normalenvektors von E mit dem Richtungsvektor von g Null ist, so sind E und g parallel oder g liegt in E:

Wir testen nun, ob g in E liegt und verwende hierzu den Stützvektor von g. Eingesetzt in E folgt:

Ergebnis: g verläuft parallel zu E.

Lösung b)

Wir verwenden die Abstandsformel

.
Dabei ist

der Ortsvektor eines beliebigen Punktes auf E. Hierfür nehmen wir den Stützvektor von g.

ist der Stützvektor von E. Für die Formel benötigen wir noch einen Einheitsnormalenvektor.
Mit

folgt

. Mit

folgt durch Einsetzen in die Abstandsformel:

Ergebnis: Der Abstand von g zu E beträgt 9 LE.

Pflichtteil 2010 - Aufgabe 7:
Gegeben sind die Ebene E: 3x₁-4x₃=-7 und der Punkt P(9|-4|1).
a) Berechnen Sie den Abstand des Punktes P von der Ebene E.
b) Der Punkt S(-1|1|1) liegt auf E. Bestimmen Sie den Punkt Q auf der Geraden durch S und P, der genauso weit von E entfernt ist wie von P.

(4 VP)

Lösung a)

Wir wandeln die Ebenengleichung in die Hesse'schen Normalform (HNF) um. Dazu benötigen wir die Länge des Normalenvektors

. Es folgt

und damit

Durch Einsetzen von P (und Betragsbildung im Zähler) ergibt sich der Abstand zu

.

Ergebnis: Der Abstand von P zu E beträgt 6 LE.

Lösung b)

Mit

folgt

.

Ergebnis: Der gesuchte Punkt Q ist gegeben mit Q(-11|6|1).

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